maths tle d le littoral 2007

CEG  LE LITTORAL                                                                    ANNEE SCOLAIRE : 2006-2007

06 BP 2530 Tel : 21 33 55 23                                                                                         Classe : Tle D

Cotonou                                                                                                                          Durée : 4 heures

 

Première Série de Devoirs Surveillés du Second Semestre

Epreuve de Mathématiques

Exercice 1

1

 z

 1

 2

                                                                                                             

         On considère l’application p de C* dans C définie par p (z) =       (z+       ))

1)     quel est l’ensemble des nombres complexes z tels que p (z)=z

2)    

1

Z0

1

Z0

a- Soit Mo le point du plan complexe d’affixe zo = 1+i

Calcule           et place le point No d’affixe              dans le plan complexe.

b- Construire géométriquement le point M’o d’affixe p(zo)à partir de Mo et No.

3)     Montre que si M d’affixe z est un point du cercle © de centre O (d’affixeO) et de rayon 1 alors p(z) est réel.

Exercice 2

e2x +e2x

ex     - 2

On donne les fonctions u, v et w définies respectivement par : u(x) = 1n (              ; v(x)=

1

1nx

       

W(x)=

1)     a- Déterminer le domaine de la définition de chacune des fonctions suivantes

3x

x-2

 

b- Déterminer u’ et v’ (dérivée de u et v)

       2) on donne q(x)=

Zone de Texte: 8            a- Justifier que q est continue sur] 2, +    [=I

             b- Déterminer deux réels a et b tels que q(x) = a+b

             c- Déterminer l’ensemble des primitives de q sur I

             d- Déterminer la primitive de q qui prend la valeur2 en xo =3.

Problème

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, i, j) d’unité 2 cm.

x² + x +1

x² + x

I/ Soit g la fonction définie par :

G(x) =                 si x ‡0 et x ‡-1

1)     Etudier le sens de variation de g

2)     Déduire le signe de g(x) pour x différent de 0 et de -1

II/ Soit f la fonction définie par :

F(x)= x+2 +1n     si x  ‡ 0 et x ‡-1

      Soit (c) sa courbe représentative dans le repère (O, i, j).

3)     Etudier les variations de f.

4)     A- Montre que la droite ( ) d’équation y= x + 2 est une asymptote à(c). Préciser la position de (c) par rapport à ( ).

b- Déterminer les coordonnées du point d’intersection de (c) avec ( ). Ecrire l’équation de la tangente (c) en ce point.

c- Compléter l’étude aux bornes de l’ensemble de définition f.

3

2

1

2

   5) Tracer la courbe (c) On calculera en particulier les coordonnées des points d’intersection de © avec la droite d’équation y = x 

6) Démontrer que le point A (-      ;       ) est centre de la courbe (c)

III/

7) Démontrer que, l’équation f(x) = 0 admet trois solutions dans R

3

2

8) à- Justifier que f établit une bijection h de -1 ; 0 sur un intervalle K à préciser.

b- Soit h-1 la bijection réciproque de h. Calculer (h-1)’ (     ) (h-1)’’étant la dérivée de h1-1.

9) On donne la fonction G définie sur]0 ; + [par G(x) xlnx – (x+1) ln(x+1)

a- Justifier que G est dérivable sur]0 ; + [ puis déterminer sa dérivée G’.

b- En déduire la primitive F de f sur]0 ; + [qui s’annule en 1.

 



Article ajouté le 2008-05-16 , consulté 8 fois

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